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Integral Tutorial - Documento
Por Carlos Marangon 20/Jan/1999

 

1-Definções

Integral

Elemento matemático usado para calcular área, volume, comprimento, centroides, etc.
A integral é aplicável a uma função contínua em um intervalo em uma variável definida da função.

A integral é representada pelo símbolo

  

Integral Definida

A expressão representadas por é chamada integral definida desde a até b da função f(x) em relação a variável x.

Integrais definidas são usadas para calcular, em geral, valores numéricos de áreas, volumes, centroides, comprimentos, etc. Uma integral definida pode ser comparada com todos os elementos de área de comprimento dx e altura y=f(x) de um gráfico de uma função. Quando dx tende a zero o número de elementos de área tende ao infinito e a soma mais perfeita, dando melhor precisão ao cálculo. Temos então a "Summa Integrallis" da função.

Uma integral pode ser avaliada somando-se todos os elementos de comprimento dx e altura y=f(x). O resultado da operação é tanto mais próximo do valor real da integral quanto menor for dx, e consequentemente maior for o número de elementos de área bem como o tempo necessário para calculá-la. Na figura ao lado a e b são os limites de integração, as linhas coloridas os elementos de área, dx o comprimento dos elementos de área e f(x) a altura dos elementos de área.

O somatório de um número finito
de elementos de altura y=f(x)
e comprimento dx para avaliar
o valor da integral definida.

 

Integral Indefinida

A expressão representada por chama-se integral indefinida de uma função f(x) em relação à variável x. Uma peculiaridade de uma integral indefinida é a ausência de limites de integração.

o cálculo de uma integral indefinida é basicamente encontrar uma outra função chamada antiderivada cuja derivada resulta no integrando f(x).
A Derivada da Antiderivada
é igual ao integrando f(x)

Muitas vezes a integrai indefinida é chamada de INTEGRAL SIMBÓLICA, por usuários da HP48.
O termo integral simbólica não é tido como termo corrente em comunidades matemáticas entretanto

 

Integral Imprópria

Nome dado a expressão representada por , na qual pelo menos um de seus limites de integração é infinito. A integral imprópria pode ser convergente, neste caso o resultado é um número real; ou divergente, quando o resultado tende ao infinito.

2-Usando a HP48 para resolver Integrais

Nota:
Verifique os flags -01,-02 e -03 antes de tentar resolver as integrais.
Os flags devem estar definidos de acordo com o resultado desejado, isto é,
numeric para numérico ou symbolic para simbólico.

Integrais Indefinidas

A HP48 é incapaz de resolver todas as integrais indefinidas.
Veja a página 20-8 do Guia do Usuário (Users's Guide) para
maiores informações.


Aplicação Integrate Solve
A HP48 mostra apenas a
expressão da integral se
não consegue resolvê-la.

Aplicação Integrate Solve
A HP48 mostra um resultado,
semelhante a este, se resolve
a integral

Para resolver uma integral definida só precisamos executar

SYMBOLIC Integrate
Entre com EXPR e VAR, LO e HI,
defina o resultado como SYMBOLIC
e pressione OK no menu.
Nota:
Também é possível resolver integrais usando-se o EQUATION WRITER e pressionando-se EVAL quando se
terminar de escrever a expressão.
Escrevendo a integral
no EQUATION WRITER

Integral Definidas

As HP48 da Série G conseguem resolver todas as integrais numéricas definidas
e demoram mais ou menos tempo de acordo com a precisão do cálculo

Para resolver uma integral definida só precisamos executar

SYMBOLIC Integrate

Entre com EXPR e VAR, LO e HI,
defina o resultado como NUMERIC
e pressione OK no menu.
Nota:
Também é possível resolver integrais usando-se o EQUATION WRITER e pressionando-se EVAL quando se
terminar de escrever a expressão.
Escrevendo a integral no
EQUATION WRITER

Aumentando a Velocidade da Integração Numérica

As HP48 da Série G permitem acelerar o tempo de integração, às custas da precisão do cálculo.
Redefinindo-se o número de casas decimais é possível fazer a calculadora resolver integrais mais
rápidas que quando a mesma integral é resolvida usando-se uma precisão de 12 casas decimais.

Para acelerar a velocidade de cálculo de integrais é preciso redefinir o número de casas decimais, usando a função FIX. Pode ser usado, em geral, 3 FIX, 5 FIX ou 8 FIX de acordo com a precisão e o tempo desejado.

   

 

Tabela de Resultados de Cálculos

Integrando-se f(X)=sin(X)
sobre a variável X de 0 a 50

A HP48 retorna os seguintes resultados de acordo com a precisão
e o tempo necessário para resolver a integral.

FORMATO FIXADO

RESULTADO

TEMPO PARA
RESOLVER

DIFFERENÇA*

1 FIX

0.1

2s

-6.50 E -2

2 FIX

0.03

3 s

5.03 E -3

3 FIX

0.035

4 s

3.40 E -5

4 FIX

0.0350

6 s

3.40 E -5

5 FIX

0.03503

6 s

3.97 E -6

6 FIX

0.035034

7 s

-2.80 E -8

7 FIX

0.0350340

11 s

-2.80 E -8

8 FIX

0.03503397

12 s

1.52 E -9

9 FIX

0.035033971

22 s

5.16 E -10

10 FIX

0.0350339715

23 s

1.60 E -11

11 FIX

0.03503397152

44 s

4.00 E -12

STD

0.035033971516

46 s

0.00 E 0
*A diferença mostrada na Quarta coluna é o valor obtido quando subtrai-se o resultado do respectivo formato fixado do valor
calculado com a HP48 trabalhando no modo mais preciso, isto é, no modo STD.

Nota-se na linha amarela que o resultado da HP48 trabalhando com o formato fixado
de 5 dígitos decimais é um bom resultado. Assim pode-se concluir que usar 5 FIX
para resolver integrais numéricas é satisfatório.

 

Integrais Impróprias

 A HP48 é capaz de resolver integrais impróprias, mas se faz necessário uma mudança de variável.
Certifique-se que a integral converge antes de executar a integração, ou o resultado será absurdo e
demorará muito tempo.


Por exemplo:

Integrando-se a função ao lado
em relação à variável X,
de 1 ao infinito

Um cálculo preliminar para substituição de variável é necessário.
Usa-se então um artifício matemático para substituir a variável.

Faz-se X = tan(Y) e inicia-se o calculo.

1- fazendo-se X = tan(Y)

2- substituindo-se dx por dy
dX/dY = d(tan(Y))/dY resulta dX = (1+ tan2(Y)) dY

3- substituindo-se a função f(X) = f(tan(Y)) ;
pela função f(X)=1/(X2+5X+2) vem f(tan(Y)) = 1/( tan2(Y) + 5. tan(Y) +2)

4-substituindo-se os limites de integração
Tem-se X=1 como limite inferior e X=¥ como limite superior.
da fórmula de substituição sabe-se que X=tan(Y)

então
1=tan(y), isolando-se Y vem Y=atan(1)
e
¥=tan(y), isolando-se Y vemY=atan(¥ ),
que em sintaxe de HP48 pode ser escrito como Y=atan(MAXR)

Nota:
Deve-se lembrar que na HP48 - ¥ não é MINR (1E- 499) nem -MINR (-1E-499).

Em suma...

Quando na função original aparece

troca-se por

limite inferior

atan(limite inferior)

limite superior

atan(limite superior)

¥

atan(MAXR)

- ¥

atan(-MAXR)

X

tan(Y)

dx

(1+ tan2(Y)) dY
Estas substituições funcionam para grande parte das integrais impróprias.
Substituindo na fórmula

Já se pode substituir as expressões na fórmula.

1-substituindo-se os limites
¥ por atan(MAXR)
e 1 por atan(1)


2-substituindo-se f(x) por tan(x)


3-substituindo-se dx por (1+tan(x)2)

Tente usar estas as expressões de substituição da tabela acima para mais exemplos
de integrais impróprias que se encontram em seu livro de cálculo

Resolvendo Integrais Impróprias na HP48 Série G.

Escreve-se a integral no
EQUATION WRITER


Tela expandida da expressão 

 

e pressiona-se EVAL para se obter o resultado. .
Resultado da integral

 

Resolvendo Integrais Duplas e Triplas.

O procedimento para se resolver integrais duplas e tripas é simples.
É basicamente resolver uma integral duas ou três vezes.

Primeiro escreve-se a expressão no EQUATION WRITER


Escreve-se uma
Integral Dupla


Escreve-se uma
Integral Tripla

e pressione EVAL para se obter o resultado.

Exercícios

Use a HP48 e os métodos explicados neste documento para resolver as seguintes integrais.:

Integral Proposta

Resultado

a)

 

2/3 ou 0.66666666666

 

b)


1/78635793761 ou 1.27168551644E-11

c)

 

1/16 ou 0.0625

d)

 

4/3 ou 1.33333333333

e)

 

ou    0.414213562373

f)

p/2 ou 1,5707963268

g)

1/6 ou 0.166666666666

h)



-( 1/6*A^6+A^2 +3*A) + (1/6*B^6 +B^2 +3*B)

i)

-SIN(R) + SIN(S)


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